Równania różniczkowe zwyczajne.html

Równanie różniczkowe zwyczajne to równanie, w którym występują stałe, funkcje niewiadome oraz pochodne funkcji niewiadomych. W równaniach różniczkowych zwyczajnych funkcje niewiadome zależą od jednej zmiennej niezależnej.

Spis treści

1 Definicja
2 Przykłady
3 Dodatkowe informacje
4 Zobacz też

edytuj Definicja

Równanie postaci:

$F(x,y(x),y'(x),y''(x),\dots,y^{(n)}(x)) = 0$

gdzie:

$F: D \subset \mathbb{R}^{n+2} \rightarrow \mathbb{R}$ jest zadaną funkcją,
$y',y'',\dots,y^{(n)}$ to kolejne pochodne szukanej funkcji

nazywamy równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n.

Powyższe równanie daje się często zapisać w innej postaci:

$y^{(n)}(x) = f(x,y(x),y'(x),y''(x),\dots,y^{(n-1)}(x))$

gdzie $f: D \subset \mathbb{R}^{n+1} \rightarrow \mathbb{R}.$

W praktyce bardzo często pomija się zapisywanie argumentu przy funkcji y tzn. zamiast $y(x),y^{(n)}(x)\,$ pisze się tylko $y,y^{(n)}\,$ .

edytuj Przykłady

$y' = 3y^2 -2x^3 + 4\,$
$\frac{y}{1+x} + y' + (1 + x)y^4 + 3y'' = 0$
$\left(\frac{dy}{dx}\right)^2-8x\frac{dy}{dx}+5xy^3 - x =0$ w zapisie alternatywnym: $(y')^2 + 8xy' + 5xy^3 - x= 0\,$
$8 d^2y = dx\,$

edytuj Dodatkowe informacje

Proces znajdowania rozwiązań równań różniczkowych nazywa się całkowaniem. Całką nazywa się jedno lub kilka równań wiążących funkcje niewiadome ze zmiennymi niezależnymi w taki sposób, że po podstawieniu funkcji niewiadomych i ich pochodnych do danego równania różniczkowego jest ono tożsamościowo spełnione.

Rozwiązaniem równania różniczkowego nazywamy całkę wyrażającą w sposób jawny zależność funkcji niewiadomych od zmiennych niezależnych.

edytuj Zobacz też

Równanie różniczkowe