Rozmaitość różniczkowa – rozmaitość topologiczna, której parametryzacje otwartych podzbiorów pokrywających w sumie całą rozmaitość są funkcjami klasy co najmniej $C 1$ posiadającą nieosobliwą różniczkę w każdym punkcie dziedziny. Parametryzacje te tworzą atlas. Bez założenia wielości map w atlasie, wiele rozmaitości nie mogłoby być rozmaitościami różniczkowymi, np. kula, dla której nie istnieje globalna i gładka parametryzacja.

edytuj Definicja

Zbiór $M \subseteq \mathbb R^N$ jest rozmaitością różniczkową (klasy $C 1$ ), gdy:

$\forall_{p \in M}$ istnieje w $\mathbb R^N$ otwarte otoczenie $U \ni p$ oraz zbiór otwarty $V \subseteq \mathbb R^N$ i
homeomorfizm $\alpha: (U \cap M) \to V$ taki, że
odwzorowanie $\alpha^{-1}: V \to U \cap M$ jest klasy $C 1$ i
różniczka $D α - 1 (x)$ jest iniekcją dla każdego $x \in V$ .

Funkcję $α$ nazywamy mapą rozmaitości, zaś $α - 1$ jej parametryzacją.

Część autorów, w tym Andrzej Birkholc w swej "Analizie wielu zmiennych" homeomorfizm o powyższych własnościach nazywa uogólnionym dyfeomorfizmem, czy też raczej po prostu dyfeomorfizmem rozszerzejąc w ten sposób jego definicję.

edytuj Klasy

W definicji można zażądać wyższej gładkości rozmaitości poprzez zastąpienie klasy $C 1$ funkcji inną. Rozmaitością różniczkową klasy $C r$ nazywamy rozmaitość, której mapa jest funkcją klasy $C r$ dla $r \in \mathbb N^* \cup \{\infty\}$ . Rozmaitość topologiczna jest rozmaitością różniczkową klasy $C 0$ , z kolei rozmaitością analityczną nazywa się rozmaitość klasy $C ω$ .

edytuj Definicja

edytuj Klasy

edytuj Zobacz też